جوهر و درون‌مایه ریاضیات

دید کلی

ما برای فهم تاریخ واقعی بوجودآمدن و پیشرفت ریاضیات ، منطق دیالتیک را راهنمای خود قرار دادیم. دیالتیک ، بویژه به این علت ما را به نتیجه‌گیری‌های درست می‌رساند که هیچ چیز را به حقیقت تحمیل نمی‌کند، بلکه واقعیت‌ها را همان‌طور که هستند، یعنی رابطه‌ها و پیشرفت‌های ضروری آنها را بررسی می‌کند. کاملا اشتباه است اگر بگوییم که در ریاضیات خالص ، اندیشه ، تنها با آفرینش‌ها و گمان‌های خود سروکار دارد. مفهوم‌های عدد و شکل ، از جایی جز از جهان واقعی گرفته نشده است. ده انگشت که انسان شمرد، یعنی نخستین عمل حساب را روی آنها یاد گرفت، همه چیزی هست جز محصولی که مخلوق خود فکر باشد.

برای شمردن، نه تنها باید چیزهایی داشته باشیم که آنها را بشماریم، بلکه باید این آمادگی را هم داشته باشیم که ضمن بررسی این چیزها ، هر ویژگی دیگری بجز شمار را از آن جدا کنیم و این آمادگی هم در نتیجه پیشرفت تاریخی طولانی ، که به آزمایش متکی باشد، بدست می‌آید. مفهوم شکل هم ، مانند مفهوم عدد ، تنها از دنیای خارج بدست آمده است و در مغز و از اندیشه خالص پدید نیامده است. پیش از این که بتوان به مفهوم شکل رسید، باید چیزهایی با شکل معین موجود باشد و این شکل‌ها نیز با یکدیگر مقایسه شده باشد. موضوع ریاضیات ، عبارت است از شکل‌های فضایی و رابطه‌های کمی دنیای واقع ؛ یعنی موضوع آن ، از مصالح واقعی درست شده است.

ویژگیها و درون‌مایه ریاضیات

1. ریاضیات بازتاب‌کننده واقعیت است و تاکید می‌کند که ریاضیات از نیازهای عملی مردم بوجود آمده و نخستین مفهوم‌ها و کاربردهای آن در نتیجه پیشرفت تاریخی طولانی که متکی بر آزمایش است بدست آمده است و ما این مطلب را بطور گسترده‌تری روی نمونه حساب و هندسه دنبال کرده‌ایم. ما بویژه پذیرفته‌ایم که مفهوم عدد ، کمیت و شکل هندسی ، به همین ترتیب بوجود آمده است و این مفهوم‌ها رابطه‌های کمی واقعی و شکل‌های فضایی واقعیت را بازتاب می‌دهند.
   
   
2. موضوع ریاضیات ، مصالح معین کاملا واقعی است، ولی ریاضیات این مصالح را جدا از محتوای مشخص و ویژگی‌های کیفی آنها بررسی می‌کند. و در همین جاست که ریاضیات از دانش‌های طبیعی جدا می‌شود.
   
   
3. ویژگی‌ اساسی ریاضیات عبارت‌اند از "زبان فرمولی" ویژه ریاضی ، گسترش کاربرد آن ، و این نتیجه‌گیری ریاضی ، جدا از آزمایش بدست می‌آید و سرانجام ویژگی الزامی و متقاعدکننده بودن این نتیجه‌گیری‌ها. اگر مفهوم عدد را ، از جنبه مشخص آن جدا کنیم و عددهای درست را بطور کلی و صرف نظر از رابطه‌هایی که با این و یا آن مجموعه مشخص دارد بررسی کنیم، به خودی‌خود روشن است که نخواهیم توانست درباره چنین عددهای انتزاعی ، آزمایش کنیم. اگر در این سطح انتزاعی بمانیم و به چیزهای مشخص برنگردیم، تنها از روش استدلال ، استدلالی که از خود مفهوم عدد سرچشمه می‌گیرد، می‌توان به نتیجه‌های تازه‌ای درباره عددها رسید. البته هم نتیجه‌گیریها دیگر ریاضیات هم به همین ترتیب‌اند.
   
   
4. بویژه ، مشخص بودن مفهوم‌های ریاضیات همراه با منطق (منطقی که همه جا با کارایی خود را نشان می‌دهد)، این ویژگی را برای ریاضیات بوجود آورده است که نتیجه‌گیریهای آن متقاعدکننده است و ضرورت منطقی دارد. همین ضروری بودن نتیجه‌گیریهای ریاضی است که زمینه را برای این تصور اشتباه فراهم آورده است که گویا پایه ریاضیات بر تفکر خالص گذاشته شده است و گویا ریاضیات علمی حضوری است و از آزمایش بدست نیامده است و گویا واقعیت‌ها را بازتاب نمی‌دهد. این مطالب که ریاضیات حضوری نیست، بلکه متکی بر آزمایش است، واقعیتی انکارناپذیر است. نه تنها خود مفهوم‌های ریاضیات ، بلکه نتیجه‌ها و روش‌های آن هم بازتابی از واقعیت است.
   
   
5. انتزاع کامل موضوع ریاضی از هر چیز مشخص ، و عقلانی و ذهنی بودن نتیجه‌گیریهای آن ، که بر پایه این انتزاع قرار دارد، ویژگی مهم دیگری از ریاضیات را بدنبال خود می‌آورد: در ریاضیات ، نه تنها آنگونه رابطه‌های کمی و شکل‌های فضایی که به طور مستقیم "از واقعیت جدا شده است" بررسی می‌شود، بلکه آن رابطه‌ها و شکل‌هایی هم که در داخل خود ریاضیات و بر پایه اجتماع مفهوم‌ها و نظریه‌های ریاضی معین شده است، مورد بررسی قرار می‌گیرد.
   
   
6. از ویژگی‌های آخرین دوره پیشرفت ریاضیات ، نه تنها این است که انتزاع‌های آن در درجه‌های بالاتری قرار گرفته است، بلکه این هم هست که موضوع آن بطور اساسی گسترش پیدا کرده است و از چارچوب مفهوم‌های مقدماتی رابطه‌های کمی و شکل‌های فضایی خارج شده است. البته شکل‌های مربوط به فضاهای چندبعدی و بی‌نهایت بعدی ، آنگونه که از شکل‌های فضای واقعی معمولی (و نه از فضای انتزاعی ریاضی) می‌فهمیم شکل‌های فضایی عادی نیستند. این فضاها معنا و مفهوم واقعی دارند و شکل‌های مشخصی از واقعیت را بصورت انتزاعی بازتاب می‌دهند، ولی تنها شباهتی با شکل‌های فضایی دارند و به همین علت در مقایسه با فضای واقعی می‌توان آنها را "شبه فضا" نامید.

نظر انگلس درباره ریاضیات

"داروی درباره ریاضیات عمیق و پرمایه است و تا چه حد می‌توان آن را گسترش داد". با وجود اینکه انگلس ، ریاضیدان نبود. تحزیه و تحلیل عمیقی از پایه‌های این دانش می‌کند، نه تنها به این علت است که او یک متفکر نابغه بود، بلکه مهم‌تر از همه به این علت است که به ماتریالیسم دیالتیک چیره بود و آن را برای روشن کردن ماهیت ریاضیات ، راهنمای خود قرار می‌داد. بنابراین نباید در شگفت بود که پیش از او هیچ کس نتوانست یک چنین راه‌حل عمیق و درستی از این مساله ارائه دهد. بزرگترین ریاضیدانان هم نمی‌توانستند در یک چنین حجم فشرده‌ای به این موفقیت برسند.

اهمیت ماتریالیسم دیالتیک

اهمیت و نیروی ماتریالیسم دیالتیک نشان می‌دهد که برای چیرگی بر یک دانش کافی نیست خدمتگزار خلاقی برای آن باشیم، بلکه علاوه بر اینها ، لازم است به روش کلی و درست استدلال ، یعنی به ماتریالیسم دیالتیک ، چیره باشیم. بدون این چیرگی ، نتیجه‌گیریهای دانش یا بصورت یک توده بی‌شکل به نظر می‌رسد و یا بطور کلی از شکل می‌افتد و به جای این که درک درستی از دانش بدست بیاوریم، دچار تصورهای اشتباه ماورای طبیعی و ذهنی درباره آن می‌شویم. بسیاری از ریاضی‌دانانی که با این روش استدلال آشنا نیستند یا اصولا نمی‌توانند در مساله‌های عمومی مربوط به دانش خودشان ، جهت‌یابی کنند و با این مساله‌ها را به کلی نادرست بیان می‌کنند.